Информация о следующем конкурсе РЭШ всегда доступна по адресу: http://iloveeconomics.ru/nes

Задача 14

Светлана Погребняк вт, 03/01/2011 - 18:26

а)На первый взгляд кажется, что лучше всего выбрать низкий уровень усилий, однако, от уровня усилий зависит размер пирога, что так же влияет на удовольствие каждого из ребят.

$$U_C =\pi_C -\frac{e_C^2 }{4} = 0,5*(e_C+e_M)-\frac{e_C^2 }{4}$$

$$U_M =\pi_M - \frac{e_M^2}{8} = 0,5*(e_C+e_M) -\frac{e_M^2}{8}$$

(т.к. каждый ребенок получает половину пирога)
Максимизируя удовольствие, дети должны выбрать тот уровень усилий, при котором значение их функции удовольствия (через $ e_C $ и $ e_M $) максимально.
Найдем эти значения:
Саша:
$ (0,5*(e_C+e_M)-\frac{e_C^2 }{4})'=0 $
$ -0,25*2 e_C+0,5=0 $
$ e_C=1 $
Маша:
$ 0,5*(e_C+e_M) -\frac{e_M^2}{8})'=0 $
$ -0,125*2 e_M+0,5=0 $
$ e_M=2 $
Т.к. $ \pi =e_C +e_M $ , то размер пирога равен 3.
б)

$$U_C =\pi_C -\frac{e_C^2 }{4} =(\pi_C-\frac{(\pi_C+\pi_M-e_M)^2}{4}$$

$$U_M =\pi_M - \frac{e_M^2}{8} =\pi_M -\frac{(\pi_C+\pi_M-e_C)^2}{8}$$

(т.к. $ \pi =e_C +e_M $,$ \pi_C +\pi_M =\pi $).
Саша :

$$U_C =\pi_C-\frac{\pi_C^2+\pi_M^2+2*\pi_C*\pi_M+e_M^2-2*(\pi_C+\pi_M)*e_M}{4}$$

Возьму производную UC по $ \pi $C и приравняю её к нулю, что будет соответствовать максимуму удовольствия:

$$U_C'=1-0,25*2*\pi_C-0,25*2\pi_M+2*e_M=0$$

$$1-0,5*(\pi_C+\pi_M)+0,5*e_M=0$$

$$0,5*\pi=1+0,5*e_M$$

$$\pi=2+e_M$$

Маша:

$$U_M =\pi_M-\frac{\pi_C^2+\pi_M^2+2*\pi_M*\pi_C+e_C^2-2*(\pi_C+\pi_M)*e_C}{8}$$

Возьму производную UM по $ \pi $M и приравняю её к нулю, что будет соответствовать максимуму удовольствия:

$$U_C'=1-0,125*2*\pi_M-0,125*2\pi_C+2*e_C=0$$

$$1-0,25*(\pi_C+\pi_M)+0,25*e_C=0$$

$$0,25*\pi=1+0,25*e_C$$

$$\pi=4+e_C$$

Т.к. количество пирога в любом случае одинаково(размер), то:

$$4+e_C=2+e_M$$

=>

$$e_M-e_C=2$$

Подставим полученные значения в функции удовольствия ребят.
Саша :

$$U_C =\pi-\pi_M -\frac{e_C^2 }{4}=2e_C+2-\pi_M-\frac{e_C^2 }{4}$$

Возьмем производную $ U_C $ по $ e_C $ и приравняем её к нулю для максимизации удовольствия Саши.

$$U_C'=2+0,25*2*e_C$$

$$2+0,5e_C=0$$

=> $ e_C=4 $
Тогда $ e_M=4+2=6 $
Следовательно, $ \pi=10 $
Подставим все, что известно, в функции удовольствия Саши и Маши.
Саша :

$$U_C=10-\pi_M-16/4=6-\pi_M $$

Маша:

$$U_M=10-\pi_C-36/8=5,5-\pi_C$$

Так как нам надо сравнить удовольствие с первоначальной ситуацией, то найдем первоначальные уровни удовольствия:

$$U_C=1,5-0,25=1,25$$

$$U_M=1,5-0,5=1$$

Тогда, чтобы удовольствие каждого из ребят было не ниже первоначально, необходимо и достаточно, чтобы

$$6-\pi_M\ge 1,25$$

и

$$5,5-\pi_C\ge 1$$

То есть

$$\pi_M\le 6-1,25$$

=>

$$\pi_M\le 5,75$$

;

$$5,5-\pi_C\ge 1$$

=>

$$\pi_C\le 4,5$$

.
То есть, чтобы уровень удовольствия каждого превысил первоначальный, необходимо, чтобы

$$\pi\le 10,25$$

Но, так как при установлении мамой принудительно уровней усилий, равных 4 и 6 и деления пирога в некоей пропорции размер пирога равен 10, то уровень удовольствия в следствие установления мамой усилий у обоих детей вырастет.
в) Удовольствие мамы растет и когда растет удовольствие одного ребенка, а удовольствие другого ребенка не меняется, и когда растет удовольствие обоих ребят. Одновременно максимальное удовольствие будет при усилиях, равных 4 и 6. Однако, поскольку не сказано, как именно растет удовольствие и в том, и в ином случае, то сложно сказать что выберет мама.
г) Для того, чтобы понять, действительно ли Саше тем лучше, чем больше размер пирога, необходимо понять, сильнее ли увеличивается удовольствие Саши при увеличении куска пирога, чем уменьшается при увеличении усилий, соответствующих увеличению размера куска пирога.