, где -доля Саши от общего пирога.
а) Пирог делится пополам


Тогда
Получаем функции полезности ребят:

-парабола(относит., ветви вниз, есть маx при
Причем -свободный член, т.е. усилия второго не влияют на решение первого.

-парабола(относит., ветви вниз, есть маx при
Причем -свободный член, т.е. усилия первого не влияют на решение второго.
И общий размер пирога будет

б)ВСЕ устанавливает мама.
Сначала удовольствие Саши было равно
а удовольствие Маши
Существуют ли такие , что

Сложим два неравенства и выделим полные квадраты в получившемся:

Например, это выполнено при и при
Значит, мама сможет увеличить удовольствие ребят.

в) Максимизируем удовольствие мамы.

Т.к. , то
После преобразований и выделения полных квадратов получаем:

Правое слагаемое - сумма квадратов, т.е. больше нуля.
Поэтому максимальное удовольствие мамы равно и достигается при уровнях усилий и

г) и -выбирают сами

Максимум функции при

Теперь аналогично рассмотрим полезность Маши:

Максимум функции при
Тогда значение полезности Саши будет так зависеть от его доли a:

А полезность Маши:

Рассмотрим функцию полезности Саши, зависимую от доли пирога:
Это парабола, ветви вниз, имеет максимум при
Т.е. при возрастает, а при убывает.
Поэтому утверждение "Саше будет в итоге тем лучше, чем больше предписанная ему доля" неверно.

Теперь утверждение " какова бы ни была первоначальная пропорция дележа, папа, переустанавливая ее, сделал бы одному из ребят хуже"
Функция полезности Маши монотонно убывает с ростом доли Саши.
Значит, если папа снижает долю Саши, то Маше становится лучше.
Для при уменьшении Саше тоже становится лучше.
Поэтому рассматриваемое утверждение неверно.
Ответ: a)


б)Может
в)Достаточно :

г)Оба утверждения неверные.