Информация о следующем конкурсе РЭШ всегда доступна по адресу: http://iloveeconomics.ru/nes

Задача 14

а) Рассмотрим, что будет делать Саша.
U$ _c $ = $ \pi_c $ - $ e_c^2 $/4 = 1/2($ e_c $ + $ e_m $) - $ e_c^2 $/4 -> max
берем производную (парабола, ветви вниз => есть максимум)
$ e_c $ = 1

Теперь рассмотрим, что будет делать Маша.
U$ _м $ = $ \pi_м $ - $ e_m^2 $/8 = 1/2($ e_c $ + $ e_m $) - $ e_m^2 $/8 -> max
берем производную (парабола, ветви вниз => есть максимум)
$ e_c $ = 2

размер пирога $ \pi $ составит $ e_c $ + $ e_m $ = 3

удовольствие Саши составит 3/2 - 1/4 = 5/4
удовольствие Маши составит 3/2 - 1/2 = 1

б) Да, может. Пускай мама установит усилия Саши = 2, усилия Маши = 4, доля Саши = 2,5, доля Маши = 3,5.
Тогда удовольствие Саши составит 2,5 - 4/4 = 1,5 > 5/4
удовольствие Маши составит 3,5 - 16/8 = 1,5 > 1

в) Удовольствие мамы увеличивается, когда суммарное удовольствие Саши и Маши увеличивается (причем за счет того, что удовольствие одного ребенка увеличивается, а удовольствие другого не уменьшается). Поэтому удовольствие мамы, таким образом, будет тем больше, чем больше суммарное удовольствие, и если суммарное удовольствие максимально, то и удовольствие мамы будет максимально.

рассчитаем максимум суммарного удовольствия:
U = $ \pi_c $ - $ e_c^2 $/4 + $ \pi_m $ - $ e_m^2 $/8 = $ e_c $ + $ e_m $ - $ e_c^2 $/4 - $ e_m^2 $/8 -> max

$ e_c $ - $ e_c^2 $/4 - парабола, ветви вниз, максимум при $ e_c $ = 2
$ e_m $ - $ e_m^2 $/8 - аналогично, максимум при $ e_m $ = 4

=> мама установит усилия Саши = 2, усилия Маши = 4 для максимизации своего удовольствия

г) 1. Рассмотрим максимизацию удовольствия Сашей, если ему приписана доля X.
U$ _c $ = $ \pi_c $ - $ e_c^2 $/4 = X * ($ e_c $ + $ e_m $) - $ e_c^2 $/4 -> max
берем производную
$ e_c $ = 2 * X
подставляем в исходное выражение
U$ _c $ = X * (2 * X + $ e_m $) - 4 * $ X^2 $/4 = $ X^2 $ + X * $ e_m $

проводя аналогичные рассуждения для Маши, получим $ e_m $ = 4 - 4*X

тогда удовольствие Саши $ X^2 $ + X * (4 - 4 * X) = -3 * $ X^2 $ +4 * X, 0 это выражение достигает своего максимума при X = 2/3 => неверно, что чем больше доля Саши, тем ему лучше

2. Пусть изначально папа сказал, что будут доли X и, соответственно, 1 - X.
Тогда Саша и Маша каким-то образом распределят свои усилия, предполагаемая полезность Саши составит
X * (e1 + e2) - $ (e1) ^ 2 $ /4,
предполагаемая полезность Маши составит
(1 - X) * (e1 + e2) - $ (e2) ^ 2 $ /8,

где все, кроме X и (1 - X) фиксировано. Тогда при изменении доли X одно из чисел (1-X) или X изменится, таким образом, одно из удовольствий обязательно уменьшится (хотя другое увеличится), т.к. значения остальных выражений фиксированы, а (e1 + e2), очевидно, положительно.