Задача 14
а) Рассмотрим, что будет делать Саша.
U = - /4 = 1/2( + ) - /4 -> max
берем производную (парабола, ветви вниз => есть максимум)
= 1
Теперь рассмотрим, что будет делать Маша.
U = - /8 = 1/2( + ) - /8 -> max
берем производную (парабола, ветви вниз => есть максимум)
= 2
размер пирога составит + = 3
удовольствие Саши составит 3/2 - 1/4 = 5/4
удовольствие Маши составит 3/2 - 1/2 = 1
б) Да, может. Пускай мама установит усилия Саши = 2, усилия Маши = 4, доля Саши = 2,5, доля Маши = 3,5.
Тогда удовольствие Саши составит 2,5 - 4/4 = 1,5 > 5/4
удовольствие Маши составит 3,5 - 16/8 = 1,5 > 1
в) Удовольствие мамы увеличивается, когда суммарное удовольствие Саши и Маши увеличивается (причем за счет того, что удовольствие одного ребенка увеличивается, а удовольствие другого не уменьшается). Поэтому удовольствие мамы, таким образом, будет тем больше, чем больше суммарное удовольствие, и если суммарное удовольствие максимально, то и удовольствие мамы будет максимально.
рассчитаем максимум суммарного удовольствия:
U = - /4 + - /8 = + - /4 - /8 -> max
- /4 - парабола, ветви вниз, максимум при = 2
- /8 - аналогично, максимум при = 4
=> мама установит усилия Саши = 2, усилия Маши = 4 для максимизации своего удовольствия
г) 1. Рассмотрим максимизацию удовольствия Сашей, если ему приписана доля X.
U = - /4 = X * ( + ) - /4 -> max
берем производную
= 2 * X
подставляем в исходное выражение
U = X * (2 * X + ) - 4 * /4 = + X *
проводя аналогичные рассуждения для Маши, получим = 4 - 4*X
тогда удовольствие Саши + X * (4 - 4 * X) = -3 * +4 * X, 0
2. Пусть изначально папа сказал, что будут доли X и, соответственно, 1 - X.
Тогда Саша и Маша каким-то образом распределят свои усилия, предполагаемая полезность Саши составит
X * (e1 + e2) - /4,
предполагаемая полезность Маши составит
(1 - X) * (e1 + e2) - /8,
где все, кроме X и (1 - X) фиксировано. Тогда при изменении доли X одно из чисел (1-X) или X изменится, таким образом, одно из удовольствий обязательно уменьшится (хотя другое увеличится), т.к. значения остальных выражений фиксированы, а (e1 + e2), очевидно, положительно.
- Для комментирования необходимо авторизоваться